Как решить задание 19 базового уровня

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Разложим число 20 на слагаемые различными способами: 1) 20 = 9 + 9 + 2 2) 20 = 9 + 8 + 3 3) 20 = 9 + 7 + 4 4) 20 = 9 + 6 + 5 5) 20 = 8 + 8 + 4 6) 20 = 8 + 7 + 5. Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9. При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3. При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9. Разложение способом (6) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

3 слайд

Описание слайда:

№ 2. Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. 600 делится на 3, 4 и 5. Число 601 дает в остатке 1 при делении на эти числа, но цифры в 601 не убывают. НОК=3*4*5=60 - делится на 3, 4 и 5. Проверяем число 600+60 =660. Оно делится на 3, 4 и 5, число с остатком 1 это 661, но цифры не убывают. Проверяем следующее 660+60= 720, оно делится на 3, 4 и 5. Число 721 дает в остатке 1 и цифры убывают. Ответ: 721.

4 слайд

Описание слайда:

№ 3. Приведите пример пятизначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число. Разложим 40 на 5 множителей: 40=5*2*2*2*1. Например, 51222. Т.к. число должно быть кратно 12, то оно должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр равна 12, значит, оно делится на 3. Чтобы число делилось на 4, надо чтобы две последние цифры составили число, которое делится на 4. 22 не делится на 4, а 12 делится. Значит, в конце стоят цифры 1, 2. Варианты ответа: 52212, 25212, 22512.

5 слайд

Описание слайда:

№ 4. Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число 5 3 1 6 4 0 1 8 - цифры числа. Чтобы число делилось на 15, надо, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Чтобы число делилось на 5, надо, чтобы оно оканчивалось на 0 или на 5. Вычеркнем 2 последние цифры. 5+3+1+6+4+0 = 19, значит надо вычеркнуть цифру 1 (сумма цифр будет 18), или 4 (сумма цифр будет 15). Варианты ответа: 53640 или 53160.

6 слайд

Описание слайда:

№ 5. Найдите трехзначное число большее 500 которое при делении на 4 на 5 и на 6 дает в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число которое делится на 4, 5 и 6 равно 60. Число больше 500 и кратное 60 это 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960. Чтобы при делении на 60 в остатке получить 2, надо к любому из этих чисел прибавить 2. Это может быть 662 или 722.

7 слайд

№ 7. Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число начинается с цифры 4 (больше 400), значит оно должно делиться на 4. Второе число - 416. Оно делится и на 4. но не делиться на 6. Первое число - 412. Оно делится и на 4 и на 2 (четное число) Число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Еще число - 432. Оно делится и на 4, и на 3, и на 2. Варианты ответа: 412 или 432.

Числа и их свойства Базовый уровень Задание №19

№1. Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50 Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45 Пусть число имеет вид abcd 40 Слайд 3

№2.Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 35 Вычеркиваем цифру 6, цифру 5 оставляем Т.к. число кратно 35, то кратно 5, оканчивается либо 0, либо 5 Выполним подбор 35·3=105 35·5=175 35·7=245 Вычеркнем цифры 1 и 3 3 х 1 0 х В 19 4 5 2

№3. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 27 Проверим какое из чисел 126 и 135 кратно 27 3 х 1 0 х В 11 5 3 1 Т.к. число кратно 27, то кратно 9, Сумма цифр кратна 9 1+2+6=9 1+3+5=9 не кратно 27 135 кратно 27

№4. Найдите наименьшее трехзначное число. Которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 дает остаток 4 и которое записано тремя различными нечетными цифрами Любое нечетное число при делении на 2 даст в остатке 1. Искомое число может состоять из: Суммы цифр 1+5+9=15, 5+7+9=21 исключаем, как кратные 3 1+3+9 =13 13 – 2 =11 1+9+7 = 17 17-2=15 3+5+9=17 17-2=15 Группа цифр 1,3,9 также исключается 1, 3,5 1,3,7 1, 3,9 1,5,7 1, 5,9 1,9,7 3, 5,9 3,5,7 5,7,9 Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 4, оканчиваются либо на 9, либо на 4, но 4 - четное Рассмотрим числа 179, 359, 719, 539 Наименьшее: 179 3 х 1 0 х В 19 7 9 1

№5. Найдите наибольшее пятизначное число, которое записывается только цифрами 0, 5 и 7 и делится на 120 Искомое число оканчивается 0. 3 х 1 0 х В 11 5 0 0 0 7 Т.к число делится на 4, то две последние цифры 0. Т.к. число кратно 3, значит сумма цифр кратна 3 7+5+0+0+0 =12 кратно 3

№6. Найдите четырёхзначное число, кратное 4 , сумма цифр которого равна их произведению Так как а bcd (10с+ d) и d - четное Пусть число – а bcd , тогда а+ b + c + d = a·b·c·d Среди цифр a , b , с и d Не может быть трех единиц, 1+1+1+ d = d –равенство невозможно Среди цифр a , b , с и d нет нулей иначе произведение равно 0 Среди цифр a , b , с и d Не может быть только одна единица, 1+ b + c + d = b·c·d –равенство невозможно

Рассмотрим двузначные числа кратные 4: 12; 16; 24 №6Найдите четырёхзначное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению Среди цифр a , b , с и d д ве единицы 1+с+1+2=1 ·с·1·2 Из 1 равенства с+4=2с, значит с=4 1+с+1+6=1 ·с·1·6 1+1+2+4=1 ·1·2·4 Из 2 равенства с+8=6с, с – дробное, чего быть не может 3-е равенство верное Искомые числа: 4112, 1412, 1124

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Число кратно 72, значит кратно 9 и кратно 4 и 8 Сумма цифр кратна 9, значит в записи должны быть три двойки и три единицы, т.к. 1+1+1+2+2+2=9 кратно 9 Число из двух последних цифр делится на 4 , значит это 12 Число из трех последних цифр делится на 8 , значит это 112 122112 – одно из чисел 3 х 1 0 х В 19 2 2 1 1 2 1

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа. Пусть а bcd – dcba =2457 3 х 1 0 х В 19 4 0 8 5 d= 0 или d =5, т.к. число кратно 5 d =0 – не подходит, иначе второе число трехзначное а bc 5 – 5 cba =2457 а=8 8 bc 5 – 5 cb 8=2457 с =0; b =4

Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Т.к. число кратно 15, то кратно 5 и 3, значит окачивается либо на 5, либо на 0, и сумма цифр кратна 3 Вычеркнем последние две цифры, тогда число оканчивается цифрой 0 5+3+1+6++4+0= 19 . Можно вычеркнуть либо 1, либо 4 3 х 1 0 х В 19 3 0 4 0 5 6

В данной статье речь пойдёт о решении задачи 19 из варианта досрочного профильного ЕГЭ по математике, предлагавшегося для решения школьникам в 2016 году. Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) традиционно вызывает наибольшие затруднения у выпускников, ведь это последняя, а потому обычно самая сложная задача из экзамена. По крайней мере, такое впечатление часто складывается в умах школьников, готовящихся к ЕГЭ. Но на самом деле ничего очень сложного в этих задачах нет. Посмотрите, например, как легко решается следующая задача 19 из профильного ЕГЭ по математике.

Не смущайтесь термина «хорошее» множество. Это типично для составителей вариантов ЕГЭ по математике. Когда не хватает слов, приходится использовать слова не по их прямому назначению.

Решение задачи 19 из профильного ЕГЭ по математике под буквой А

Перейдём к решению. Отвечаем на вопрос под буквой А. Является записанное множество хорошим? Предположим, что да. Если это действительно так, то это самый простой случай для нас. Ведь в этом случае требуется лишь привести пример разбиения этого множества на два множества, суммы элементов которых одинаковы. В противном случае пришлось бы доказывать принципиальную невозможность нужного разбиения. А это уже гораздо сложнее. Ну а поскольку это лишь задание под буквой А, можно надеяться, что оно достаточно простое. Итак, попытаемся разбить наше множество на два подмножества, суммы элементов в которых будут одинаковы.

К счастью, чтобы это сделать, не нужно быть Эйнштейном. Берём самое очевидное и интуитивное решение. Группируем элементы исходного множества в пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее:

Последняя парочка будет состоять из двух чисел: 249 и 250. Всего таких парочек получится 50. Сумма чисел в каждой парочке равна 499. А дальше берите какие угодно 25 парочек в первое множество, остальные 25 — во второе множество, и получите требуемое разбиение. Итак, ответ на вопрос под буквой А — да!

Ответ на вопрос под буквой Б из задачи 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Переходим к вопросу под буквой Б. Задание то же самое, только множество другое. Поэтому думается, что авторы-составители должны были здесь проявить оригинальность. Так что, скорее всего, это множество уже не будет хорошим. Если это так, то просто примером в данном случае ограничиться не получится, придётся всё доказывать. Ну что ж, попробуем.

Вообще говоря, если вдуматься в задание, то решение приходит само собой. Нам требуется разбить данное множество на два подмножества, суммы элементов в каждом из которых равны. Ну и, в общем, тут не нужно быть Стивином Хокингом, чтобы понять, что ключ к решению в том, чтобы найти, чему должны быть равны эти суммы! А для этого нужно посчитать сумму элементов нашего исходного множества.

Посмотрите внимательно. Перед нами классическая геометрическая прогрессия со знаменателем , первым членом и элементами. Сумма всех элементов такой прогрессии определяется по известной формуле:

Это означает, что если бы мы разбили наше множество на два подмножества с одинаковой суммой элементов в каждом из них, то эта сумма оказалась бы равной . А это нечётное число! Но ведь все элементы нашего множества — это степени двойки, то есть числа безусловно чётные. Вопрос. Может ли получиться нечётное число, если складывать чётные числа? Конечно, нет. То есть мы доказали невозможность такого разбиения. Итак, ответ к вопросу под буквой Б из решения задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) — нет!

Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) под буквой В

Ну и наконец, переходим к вопросу под буквой В. Сколько же четырёхэлементных хороших множества содержится в множестве {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? Да… Тут уже придётся задуматься более серьёзно. Ну конечно! Ведь это последнее, как говорят некоторые видеоблогеры, самое жёсткое задание в профильном ЕГЭ по математике. Так как же его решить?

Доводилось ли вам когда-нибудь слышать об осознанном переборе? Этот метод применяется тогда, когда возможных вариант не очень много. Но при этом варианты перебираются не как попало, а в определённой последовательности. Это нужно для того, чтобы не упустить из виду ни одного возможного варианта. Плюс, по возможности, при переборе исключаются из рассмотрения невозможные варианты. Итак, как же нам свести это задание к осознанному перебору?

Введём фильтр, ограничивающий перебор:

Заметим сразу, что суммы искомых хороших четырёхэлементных подмножеств должны быть чётными, иначе их нельзя разбить на подмножества с одинаковыми суммами элементами. При этом минимально возможная сумма равна 1+2+4+5 = 12, а максимально возможная сумма равна 5+7+9+11 = 32. Таких сумм 11 штук.
Примем также во внимание, что чётные числа 2 и 4 должны либо одновременно входить в хорошее четырёхэлементное множество, либо одновременно не входить в него. В противном случае только одно из чисел четырёхэлементного множества чётное, поэтому сумма элементов такого множества не будет чётной.
Поскольку порядок расположения элементов в искомых хороших четырёхэлементных множествах не важен, договоримся, что элементы в этих множествах будут у нас расположены по возрастанию.

Рассматриваем все возможные суммы:

Сумма 12: {1; 2; 4; 5}.
Сумма 14: {1; 2; 4; 7}.
Сумма 16: нет вариантов.
Сумма 18: {2; 4; 5; 7}.
Сумма 20: нет вариантов.
Сумма 22: {2; 4; 7; 9}, {2; 4; 5; 11}.
Сумма 24: {1; 5; 7; 11}.
Сумма 26: {2; 4; 9; 11}.
Сумма 28: нет вариантов.
Сумма 30: нет вариантов.
Сумма 32: {5; 7; 9; 11}.

Вот и получилось у нас всего 8 множеств. Других вариантов нет. То есть ответ к заданию под буквой В — 8.

Вот такое решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень). Для тех, кто только начинает готовиться к сдаче профильного ЕГЭ по математике, оно можно показаться сложным. Но на самом деле для решения таких задач требуется использование одних и тех же способов и приёмов. Нужно только овладеть ими, и все эти задачи будут казаться вам простыми, и вы их решите на экзамене без всяких проблем. Я вас мог этому научить. Подробную информацию обо мне и моих занятиях вы можете найти на .

Среднее общее образование

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Линия УМК А. Г. Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (Б)

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

ЕГЭ-2018 по математике, базовый уровень: задание 19

Вашему вниманию мы предлагаем разбор 19 задания ЕГЭ 2018 года по математике. Статья содержит подробный анализ задания, алгоритм решения и рекомендации актуальных пособий для подготовки к ЕГЭ, а также подборку материалов по математике, опубликованных ранее.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Учебник входит в УМК по математике для 10-11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава - домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Задание 19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение

А) Пусть среди написанных чисел

x – положительных

y – отрицательных

z – нулей

Тогда имеем, что

сумма положительных чисел равна 4x
сумма отрицательных чисел равна –8y
сумма всех чисел ряда 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z )

4(x – 2y + 0z ) = –3(x + y + z )

Т.к. левая часть равенства кратна 4, то и правая часть равенства должна быть кратна 4, значит

x + y + z (количество чисел) кратно 4.

40 < x + y + z < 48,

x + y + z = 44

Значит на доске написано 44 числа.

Б) Рассмотрим равенство 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z )

4x – 8y = – 3x – 3y – 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Отсюда получаем, т.к. z ≥ 0 (количество нулей в ряду)

7x < 5y

x < y

Значит положительных чисел меньше, чем отрицательных.

В) Т.к. x + y + z = 44,подставим это значение в равенство 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z ),

4x – 8y = (–3 · 44)/4

x – 2y = –33

x = 2y – 33

Учитывая, что x + y + z = 44, имеем x + y ≤ 44, подставим x = 2y – 33 в данное неравенство

2y – 33 +y ≤ 44

3y ≤ 77

y ≤ 25	2
	3

y ≤ 25, учитывая, что x = 2y – 33 получаем x ≤ 17.

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение.

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, число 578.

Ответ: 578|587|758|785|857|875

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ - 2015.

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Число имеет одинаковые остатки при делении на 5 и на 6, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 30, причём этот остаток не равен нулю и меньше пяти. Таким образом, искомое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не больше 400

При : 421, 422, 423, 424. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр

При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удовлетворяет всем условиям задачи.

Также подходят числа 573 и 693.

Ответ: 453,573, 693.

Ответ: 453|573|693

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Чтобы число abcd делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Произведение цифр 24 можно представить многими способами, основой которых являются произведения - . Признак делимости на 11: Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число делится на 2, то оно должно быть четным. Согласно перечисленным признакам можно подобрать следующие числа: 4312, 2134, 1342, 3124

Ответ: 2134|4312|1342|3124

Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.

Сумма цифр не делится на 3.