Что такое целые числа определение. Целые и рациональные числа. Действительные числа. Свойства сложения и умножения целых чисел

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел .

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами . А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

– это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.


Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

Для того чтобы эффективно выполнять любую работу, нужны инструменты, чтобы копать, нужна лопата или экскаватор; чтобы думать, нужны слова. Числа - это инструменты, позволяющие работать с количествами.

Кажется, что все мы знаем, что такое число: 1, 2, 3… Но давайте поговорим о числах, как об инструментах.

Возьмем три предмета: яблоко, воздушный шар, Землю (Рис. 1). Что у них общего? Форма - это все шары.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Возьмем три других предмета (Рис. 2). Что у них общего? Цвет - все они синие.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Возьмем теперь три множества: три автомобиля, три яблока, три карандаша (Рис. 3). Что у них общего? Количество - их по три.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Мы можем на каждую машину положить по яблоку, а в каждое яблоко воткнуть по карандашу (Рис. 4). Общее свойство этих множеств - количество элементов.

Рис. 4. Сравнение множеств

Однако для решения задач мало натуральных чисел, поэтому ввели еще и отрицательные, рациональные, иррациональные и др. Математика (особенно та её часть, которая изучается в школе) - это своеобразный механизм по переработке знаков.

Возьмем, например, две кучи палочек, в одной семнадцать штук, а в другой - двадцать пять (Рис. 5). Как узнать, сколько всего палочек в обеих кучах?

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Если нет никакого механизма, то непонятно: можно только сложить палочки в одну кучу и пересчитать.

А вот если количества палочек записать в привычной нам десятичной системе ( и ), то можно использовать механизмы для сложения. Например, мы умеем складывать числа в столбик (Рис. 6): .

Рис. 6. Сложение в столбик

Также мы не сможем сложить числа, записанные так: триста семьдесят четыре плюс четыреста восемьдесят пять. А вот если записать числа в десятичной системе, то для сложения есть алгоритм - сложение в столбик (Рис. 7): .

Рис. 7. Сложение в столбик

Если есть автомобиль, то стоит построить гладкую дорогу, вместе они эффективны. Аналогично: если есть самолет, то нужен аэродром. То есть сам механизм и окружающая инфраструктура связаны - по отдельности они гораздо менее эффективны.

В данном случае есть инструмент - числа, записываемые в позиционной системе, и для них придумана инфраструктура: алгоритмы для выполнения различных действий, например, сложения в столбик.

Числа, записанные в десятичной позиционной системе, вытеснили другие (римские и др.) именно потому, что для работы с ними придумали эффективные и простые алгоритмы.

Рассмотрим подробнее десятичную позиционную систему. Есть две основные идеи, которые лежат в её основе (благодаря которым она и получила своё название).

1. Десятичность : мы считаем группами, а именно десятками.

2. Позиционность : вклад цифры в число зависит от ее позиции. Например, , : числа разные, хотя состоят из одинаковых цифр.

Эти две идеи помогли создать удобную систему, в ней легко выполнять действия и записывать числа, так как у нас есть ограниченный набор символов (в данном случае цифр) для записи бесконечного количества чисел.

Подчеркнем важность технологии на таком примере. Предположим, что нужно перенести тяжелый груз. Если использовать ручной труд, то все будет зависеть от того, насколько сильный человек несёт груз: один справится, другой - нет.

Изобретение технологии (например, автомобиля, в котором можно перевезти этот груз) выравнивает возможности людей: за рулём может сидеть хрупкая девушка или тяжелоатлет, но оба они смогут одинаково эффективно справиться с задачей перемещения груза. То есть технологии можно научить любого, а не только специалиста.

Сложение и умножение в столбик - тоже технология. Работа с числами, записанными в римской системе счисления, - сложная задача, это умели делать только специально обученные люди. Складывать и умножать числа в десятичной системе умеет любой четвероклассник.

Как мы уже говорили, люди изобрели разные числа, и все они нужны. Следующим (после натуральных) важным изобретением являются отрицательные числа. С помощью отрицательных чисел считать стало проще. Как так получилось?

Если мы из большего отнимаем меньшее, то потребности в отрицательных числах нет: понятно, что в большем числе содержится меньшее. Но оказалось, что стоит ввести отрицательные числа как отдельный объект. Его нельзя увидеть, потрогать, но он полезен.

Рассмотрим такой пример: Можно делать вычисления в другом порядке: , тогда не возникает никакой проблемы, нам достаточно натуральных чисел.

Но иногда бывает необходимость выполнять действия последовательно. Если у нас на счету заканчиваются деньги, то нам дают кредит. Пусть у нас было рублей, а мы потратили на разговоры. На счете не хватает рублей, это удобно записать с помощью знака минус, так как если мы их вернем, то на счету будет : . Эта идея лежит в основе изобретения такого инструмента, как отрицательные числа.

В жизни мы часто работаем с понятиями, которые нельзя потрогать: радость, дружба и т.д. Но это не мешает нам их понимать и анализировать. Можно сказать, что это просто придуманные вещи. Действительно так и есть, но они помогают людям что-то делать. Так же автомобиль придуман человеком, но он помогает нам перемещаться. Числа тоже придуманы человеком, но они помогают решать задачи.

Возьмем такой объект, как часы (Рис. 8). Если оттуда вытащить деталь, то не ясно, что это и зачем нужно. Без часов эта деталь не существует. Так и отрицательное число существует внутри математики.

Рис. 8. Часы

Часто учителя стараются указать, что такое отрицательное число. Приводят в пример отрицательную температуру (Рис. 9).

Рис. 9. Отрицательная температура

Но это лишь название, обозначение, а не само число. Можно было ввести другую шкалу, где такая же температура будет, например, положительной. В частности, отрицательные температуры по шкале Цельсия в шкале Кельвина выражаются положительными числами: .

То есть отрицательного количества в природе не существует. Однако числа используют не только для выражения количества. Вспомним основные функции числа.

Итак, мы поговорили про натуральные и целые числа. Число - это удобный инструмент, который можно использовать для решения различных задач. Конечно, для тех кто работает внутри математики, числа являются объектами. Как для тех кто делает плоскогубцы, они также являются объектами, а не инструментами. Мы же будем рассматривать числа как инструмент, который позволяет нам думать и работать с количествами.

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Целые отрицательные числа

Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7 °C тепла. Если температура понизится на 4 °C, то термометр будет показывать 3 °C тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Примечание: все градусы пишутся с буквой C (Цельсия), знак градуса отделяется от числа пробелом. Например, 7 °C.

Если температура понизится на 7 °C, то термометр будет показывать 0 °C. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если же температура понизится на 8 °C, то термометр покажет -1 °C (1 °C мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).

Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).

Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа - значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:

1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

1 > 0; 15 > -16

2) Любое отрицательное число меньше нуля:

7 < 0; -357 < 0

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N .

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными , например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными . Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными .

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z .

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q . Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J .

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R .

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123... . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых - после запятой две цифры; до тысячных - три цифры и т.д.

К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

1. a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
3. a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.